Geometría euclidiana

• Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
• Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto y preciso (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»).
• Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.[3]

La geometría plana o geometría del plano euclídeo es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano euclídeo. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Desde un punto de vista más general, el plano euclídeo se caracteriza por ser una variedad riemanniana de dimensión dos de curvatura nula y simplemente conexa.

La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia. La escala de ángulos es absoluta, y Euclides usa el ángulo recto como su unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se denominaría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancia es relativa; uno elige arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad, y otras distancias se expresan en relación con él. La suma de distancias está representada por una construcción en la que un segmento de línea se copia en el extremo de otro segmento de línea para extender su longitud, y de manera similar para la resta. Las medidas de área y volumen se derivan de las distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y una longitud de 4 tiene un área que representa el producto, 12. Debido a que esta interpretación geométrica de la multiplicación estaba limitada a tres dimensiones, no había forma directa de interpretar el producto de cuatro o más. números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la demostración del libro IX, proposición 20.

Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte "congruente" se refiere a la idea de que una figura completa tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover encima de la otra para que coincida exactamente. (Se permite darle la vuelta). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen especular. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares. Los ángulos correspondientes en un par de figuras similares son congruentes y los lados correspondientes están en proporción entre sí.

Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en conservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos. Hay 13 libros en los Elementos:

Los libros I–IV y VI: Estos analizan la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos". (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47) Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales . Se demuestra que hay infinitos números primos. Los libros XI–XIII se refieren a la geometría sólida. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos .

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un pequeño número de axiomas.[4] Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos (ver quinto postulado de Euclides).

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, muchos geómetras intentaron deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (dada una recta, existen varias rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta). Puesto que ambas geometrías son consistentes, se deduce que el quinto postulado es, en efecto, un postulado que no puede deducirse de los otros cuatro. Estas geometrías, en las que el quinto postulado no es válido, se llaman geometrías no euclidianas.

Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.

Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo.

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

• Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción).
• Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente).

Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo significado, hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego Euclides, la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra «euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».[1][5]

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• Geometría clásica
• Geometría no euclidiana
• Teorema de la mariposa

• Geometría euclídea
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