Punto (geometría)

La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente. En un espacio vectorial que consiste en un solo punto (que debe ser el vector cero 0), no hay ningún subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es en sí mismo linealmente independiente, porque hay una combinación lineal no trivial que lo hace cero: ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$.

La dimensión topológica de un espacio topológico ${\displaystyle X}$ se define como el valor mínimo de n, tal que toda cobertura abierta finita ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de ${\displaystyle X}$ admite una cubierta abierta finita ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de ${\displaystyle X}$ que refina ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ en la que ningún punto esté incluido en más de n+1 elementos. Si no existe tal mínimo n, se dice que el espacio es de dimensión de cobertura infinita.

Un punto es cero dimensional con respecto a la dimensión que lo cubre porque cada cobertura abierta del espacio posee un refinamiento consistente en un conjunto abierto.

Sea X un espacio métrico. Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el contenido de Hausdorff-dimensional d de S es el infimum del conjunto de números δ ≥ 0 tal que hay alguna colección (indexada) de bolas ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$ cubriendo S con r_i > 0 para cada i ∈ I que satisface ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$

La dimensión de Hausdorff de X está definida por

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede ser cubierto por una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.