Anillo conmutativo

Un anillo es un conjunto ${\displaystyle R}$ dotado de dos operaciones binarias, es decir, operaciones que combinan dos elementos cualesquiera del anillo con un tercero. Se llaman suma y multiplicación y se denotan comúnmente por "${\displaystyle +}$" y "${\displaystyle \cdot }$"; por ejemplo, ${\displaystyle a+b}$ y ${\displaystyle a\cdot b}$. Para formar un anillo, estas dos operaciones tienen que satisfacer una serie de propiedades: el anillo tiene que ser un grupo abeliano bajo adición, así como un monoide bajo multiplicación, donde la multiplicación distribuye sobre la adición; es decir, ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$. Los elementos de identidad para la suma y la multiplicación se denotan ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle 1}$, respectivamente.

Si la multiplicación es conmutativa, es decir

$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$$

entonces el anillo ${\displaystyle R}$ se llama conmutativo. En el resto de este artículo, todos los anillos serán conmutativos, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

En contraste con los campos, donde cada elemento distinto de cero es multiplicativamente invertible, el concepto de divisibilidad para anillos es más rico. Un elemento ${\displaystyle a}$ de anillo ${\displaystyle R}$ se llama una unidad si posee un inverso multiplicativo. Otro tipo particular de elemento es el divisor de ceros, es decir, un elemento ${\displaystyle a}$ tal que existe un elemento distinto de cero ${\displaystyle b}$ del anillo tal que ${\displaystyle ab=0}$. Si ${\displaystyle R}$ no posee divisores cero distintos de cero, se denomina dominio de integridad (o dominio). Un elemento ${\displaystyle a}$ que satisface ${\displaystyle a^{n}=0}$ para algún entero positivo ${\displaystyle n}$ se llama elemento nilpotente.

Muchas de las nociones siguientes también existen para anillos no necesariamente conmutativos, pero las definiciones y propiedades suelen ser más complicadas. Por ejemplo, todos los ideales de un anillo conmutativo son automáticamente de dos caras, lo que simplifica considerablemente la situación.

Ideales

Los ideales de un anillo ${\displaystyle R}$ son los submódulos de ${\displaystyle R}$, es decir, los módulos contenidos en ${\displaystyle R}$. En más detalle, un ideal ${\displaystyle I}$ es un subconjunto no vacío de ${\displaystyle R}$ tal que para todo ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$ en ${\displaystyle I}$, tanto ${\displaystyle ri}$ como ${\displaystyle i+j}$ están en ${\displaystyle I}$. Para diversas aplicaciones, comprender los ideales de un anillo es de particular importancia, pero a menudo se procede estudiando los módulos en general.

Todo anillo tiene dos ideales, a saber, el ideal cero ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ y ${\displaystyle R}$, el anillo entero. Estos dos ideales son los únicos precisamente si ${\displaystyle R}$ es un campo. Dado cualquier subconjunto ${\displaystyle F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}}$ de ${\displaystyle R}$ (donde ${\displaystyle J}$ es algún conjunto índice), el ideal generado por ${\displaystyle F}$ es el ideal más pequeño que contiene a ${\displaystyle F}$. Equivalentemente, viene dado por combinación lineals finitas

$${\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.}$$

• El ejemplo más importante es tal vez el de los números enteros con las operaciones usuales de suma y multiplicación, ambas conmutativas. Este anillo usualmente se denota por Z, por la palabra alemana Zahlen (números).
• Los números racionales, reales, y complejos forman anillos conmutativos con las operaciones usuales; más aún, son cuerpos.
• Más generalmente, todo campo es un anillo conmutativo por definición.
• Para el caso, ejemplo de un anillo no conmutativo es el conjunto de matrices cuadradas de 2×2 con valores reales. Como segunda operación, la multiplicación matricial

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

da un resultado distinto que si se invierte el orden de los factores:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.}$

• Si n > 0 es un entero, el conjunto Z_n de enteros módulo n forma un anillo conmutativo con n elementos.
• Si R es un anillo conmutativo, el conjunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevo anillo conmutativo, denotado por R[X].
• El conjunto de números racionales de denominador impar forma un anillo conmutativo, estrictamente contenido en el anillo Q de los racionales, y que contiene propiamente al Z de los enteros.

• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.

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