Álgebra conmutativa

El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos que forman parte de la teoría algebraica de números y de la geometría algebraica.

En la teoría algebraica de números, los anillos de números enteros algebraicos son anillos de Dedekind, que constituyen, por tanto, una clase importante de anillos conmutativos. Las consideraciones relacionadas con la aritmética modular han llevado a la noción de un anillo de valoración. La restricción de extensiones de cuerpo algebraico a subanillos ha llevado a las nociones de extensiones integrales y dominios integralmente cerrados, así como a la noción de ramificación de una extensión de anillos de valoración.[3]

La noción de localización de un anillo (en particular la localización con respecto a un ideal primo, la localización que consiste en invertir un solo elemento y el anillo del cociente total) es una de las principales diferencias entre el álgebra conmutativa y la teoría de los anillos no conmutativos. Conduce a una clase importante de anillos conmutativos, los anillos locales que tienen un solo ideal máximo. El conjunto de los ideales principales de un anillo conmutativo está naturalmente equipado con una topología, la topología de Zariski. Todas estas nociones son muy utilizadas en geometría algebraica y son las herramientas técnicas básicas para la definición de la teoría de esquemas, una generalización de la geometría algebraica introducida por Grothendieck.

Muchas otras nociones de álgebra conmutativa son contrapartidas de las nociones geométricas que ocurren en la geometría algebraica. Este es el caso de la dimensión de Krull, descomposición primaria, anillos regulares, anillos de Cohen-Macaulay, anillos Gorenstein y muchas otras nociones.

El tema, por primera vez conocido como teoría ideal, comenzó con el trabajo de Richard Dedekind sobre ideales, basado en el trabajo anterior de Ernst Kummer y Leopold Kronecker. Más tarde, David Hilbert introdujo el término "anillo" para generalizar el término anterior "anillo de números". Hilbert introdujo un enfoque más abstracto para reemplazar los métodos más concretos y orientados a la computación basados en cosas como el análisis complejo y la teoría invariante clásica. A su vez, Hilbert influyó fuertemente en Emmy Noether, quien reformuló muchos resultados anteriores en términos de una condición de cadena ascendente, ahora conocida como la condición Noetheriana. Otro hito importante fue el trabajo del alumno de Hilbert Emanuel Lasker, quien introdujo los ideales primarios y probó la primera versión del teorema de Lasker-Noether.

La figura principal responsable del nacimiento del álgebra conmutativa como materia madura fue Wolfgang Krull, quien introdujo las nociones fundamentales de localización y compleción de un anillo, así como el de anillos locales regulares. Estableció el concepto de la dimensión Krull de un anillo, primero para los anillos noetherianos antes de expandir su teoría para cubrir los anillos de valoración y los anillos Krull. Hasta el día de hoy, el teorema ideal principal de Krull se considera ampliamente como el teorema fundamental más importante del álgebra conmutativa. Estos resultados allanaron el camino para la introducción del álgebra conmutativa en la geometría algebraica, una idea que revolucionaría esta última materia.

Gran parte del desarrollo moderno del álgebra conmutativa enfatiza módulos. Tanto los ideales de un anillo R como las álgebras R son casos especiales de módulos R, por lo que la teoría de módulos abarca tanto la teoría ideal como la teoría de las extensiones de anillos. Aunque ya era incipiente en el trabajo de Kronecker, el enfoque moderno del álgebra conmutativa que usa la teoría de módulos generalmente se acredita a Krull y Noether.

El álgebra conmutativa (en forma de anillos polinomiales y sus cocientes, utilizados en la definición de variedades algebraicas) siempre ha formado parte de la geometría algebraica. Sin embargo, a finales de la década de 1950, las variedades algebraicas se incluyeron en el concepto de esquema de Alexander Grothendieck. Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primos, que son espacios anillados localmente, que forman una categoría que es antiequivalente (dual) a la categoría de anillos unitales conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un cuerpo k, y la categoría de k reducido generado finitamente-álgebras. El encolado se realiza a lo largo de la topología de Zariski; se puede pegar dentro de la categoría de espacios anillados localmente, pero también, usando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de pre-oleadas de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido de la teoría de conjuntos se reemplaza luego por una topología de Zariski en el sentido de la topología de Grothendieck. Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en cuenta ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la topología de Zariski, a saber, la topología étale y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc. Hoy en día algunos otros ejemplos se han vuelto prominentes, incluida la topología de Nisnevich. Además, las gavillas se pueden generalizar a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales, lo que lleva a pilas de Artin e, incluso más finas, pilas de Deligne-Mumford, ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.

• Atiyah, M.,"Introducción al álgebra conmutativa", Barcelona, Reverté, 1980.
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• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
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• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
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• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
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• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.