Distribución t de Student

Sean ${\displaystyle X}$ una variable aleatoria continua y ${\displaystyle v>0}$, si ${\displaystyle X}$ tiene una distribución ${\displaystyle t}$ con ${\displaystyle v}$ grados de libertad entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim t_{v}}$ o ${\displaystyle X\sim t(v)}$.

La distribución ${\displaystyle t}$-student tiene como función de densidad

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}}$

para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, donde ${\displaystyle v}$ denota los grados de libertad y ${\displaystyle \Gamma }$ es la función gamma.

La expresión anterior también suele escribirse como

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{{\sqrt {v}}\;\operatorname {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}}$

donde ${\displaystyle \operatorname {B} }$ es la función beta.

En particular, para valores enteros de ${\displaystyle v}$ se tiene que

para ${\displaystyle v>1}$ par

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}={\frac {(v-1)(v-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {v}}(v-2)(v-4)\cdots 4\cdot 2}}}$

para ${\displaystyle v>1}$ impar

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}={\frac {(v-1)(v-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {v}}(v-2)(v-4)\cdots 5\cdot 3}}}$

La función de distribución puede ser escrita en términos de ${\displaystyle I}$, la función beta incompleta.

Para ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\frac {v}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$

donde

${\displaystyle x(t)={\frac {v}{t^{2}+v}}}$

Una fórmula alternativa, válida para ${\displaystyle x^{2}<v}$ es

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(u)du={\frac {1}{2}}+x{\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi v}}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {v+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{v}}\right)}$

donde ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ es un caso particular de la función hipergeométrica.

Ciertos valores de ${\displaystyle v}$ dan una forma especial a la función de densidad y de distribución.

• ${\displaystyle v=1}$

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(x)}$

Véase Distribución de Cauchy.

• ${\displaystyle v=2}$

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {x^{2}}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{2}}}}}}}$

• ${\displaystyle v=3}$

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {x^{2}}{3}}\right)^{2}}}}$

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {x}{{\sqrt {3}}\left(1+{\frac {x^{2}}{3}}\right)}}+\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {3}}}\right)\right]}$

• ${\displaystyle v=\infty }$

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

Véase Distribución normal.

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

Véase Función error.

La media de ${\displaystyle X}$ para valores ${\displaystyle v>1}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=0}$

La varianza de ${\displaystyle X}$ para valores ${\displaystyle v>2}$ es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {v}{v-2}}}$

La curtosis de ${\displaystyle X}$ para valores ${\displaystyle v>4}$ es

${\displaystyle {\frac {6}{v-4}}}$

Sean ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ donde ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$ son desconocidos.

Se tiene que

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)}$

y

${\displaystyle {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

son independientes entonces el cociente

${\displaystyle {\frac {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\sqrt {\frac {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}{n-1}}}}\sim t_{n-1}}$

esto es

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}}$

Sea ${\displaystyle t_{n-1,1-\alpha /2}\in \mathbb {R} }$ tal que

${\displaystyle \operatorname {P} [Y\leq t_{n-1,1-\alpha /2}]=1-{\frac {\alpha }{2}}}$

siendo ${\displaystyle Y\sim t_{n-1}}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {P} \left[-t_{n-1,1-\alpha /2}\leq {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\leq t_{n-1,1-\alpha /2}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}-\mu \leq t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[-{\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq -\mu \leq -{\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\\end{aligned}}}$

por lo tanto un intervalo de ${\displaystyle (1-\alpha )100\%}$ de confianza para ${\displaystyle \mu }$ cuando ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ es desconocida es

${\displaystyle \left({\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)}$

La distribución ${\displaystyle t}$ de Student puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ y un parámetro de escala ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$ mediante la relación

${\displaystyle X={\widehat {\mu }}+{\widehat {\sigma }}\;T}$

o

${\displaystyle T={\frac {X-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}}$

esto significa que ${\textstyle {\frac {x-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}}$ tiene la distribución clásica ${\displaystyle t}$ de Student con ${\displaystyle v}$ grados de libertad.

La resultante distribución ${\displaystyle t}$ de Student no estandarizada tiene por función de densidad:[2]

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\widehat {\sigma }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

donde ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$ no corresponde a la desviación estándar, esto es, no es la desviación estándar de la distribución escalada ${\displaystyle t}$, simplemente es parámetro de escala de la distribución.

La distribución puede ser escrita en términos de ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$, el cuadrado del parámetro de escala:

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu {\widehat {\sigma }}^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-{\widehat {\mu }})^{2}}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]={\widehat {\mu }}\quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\&\operatorname {Var} (X)={\widehat {\sigma }}^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\&\operatorname {Moda} (X)={\widehat {\mu }}.\end{aligned}}}$

Una parametrización alterna está en términos del parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda }$ definido mediante la relación ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}}$. La función de densidad está dada por:[2]

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {\lambda }{\pi v}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-{\widehat {\mu }})^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]={\widehat {\mu }}\quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\&\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\&\operatorname {Moda} (X)={\widehat {\mu }}.\end{aligned}}}$