Distribución χ²

Distribución χ² (ji al cuadrado)
	; Función de densidad de probabilidad
	; Función de distribución de probabilidad
Parámetros	grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana	aproximadamente
Moda	si
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)	para
Función característica

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado (también llamada distribución de Pearson o distribución $\chi ^{2}$ ) con $k\in \mathbb {N}$ grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de $k$ variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

Definición

Como la suma de normales estándar

Sean $Z_{1},\dots ,Z_{k}$ variables aleatorias independientes tales que $Z_{i}\sim N(0,1)$ para $i=1,2,\dots ,k$ entonces la variable aleatoria $X$ definida por

{\begin{aligned}X&=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}\end{aligned}}

tiene una distribución chi cuadrada con $k$ grados de libertad.

Notación

Si la variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución Chi Cuadrada con $k$ grados de libertad entonces escribiremos $X\sim \chi _{k}^{2}$ o $X\sim \chi ^{2}(k)$ .

Función de Densidad

Si $X\sim \chi _{k}^{2}$ entonces la función de densidad de la variable aleatoria $X$ es

f_{X}(x)={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {k}{2}}}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\,x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}

para $x>0$ donde $\Gamma$ es la función gamma.

Función de Distribución Acumulada

Si $X\sim \chi _{k}^{2}$ entonces su función de distribución está dada por

F_{X}(x)={\frac {\gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}

donde $\gamma (k,z)$ es la función gamma incompleta.

En particular cuando $k=2$ entonces esta función toma la forma

F_{X}(x)=1-e^{-x/2}

Propiedades

Si $X\sim \chi _{k}^{2}$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria $X$ es

\operatorname {E} [X]=k

Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$ es

\operatorname {Var} (X)=2k

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de $X$ es

M_{X}(t)=\left({\frac {1}{1-2t}}\right)^{k/2}

para $2t<1$ .

Teorema

Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución $N(\mu ,\sigma ^{2})$ entonces

${\overline {X}}$ y el vector $\left(X_{1}-{\overline {X}},\dots ,X_{n}-{\overline {X}}\right)$ son independientes.
${\overline {X}}$ y $S^{2}$ son independientes.
${\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$ .
$\operatorname {E} [S^{2}]=\sigma ^{2}$ y $\operatorname {Var} (S^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}$ .

donde

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}

y

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

Intervalo para la varianza

Sean $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución $N(\mu ,\sigma ^{2})$ donde $\mu$ y $\sigma ^{2}$ son desconocidos.

Se tiene que

{\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}

Sean $\chi _{n-1,\alpha /2},\chi _{n-1,1-\alpha /2}\in \mathbb {R}$ tales que

\operatorname {P} [\chi _{n-1,\alpha /2}<Y<\chi _{n-1,1-\alpha /2}]=1-\alpha

siendo $Y\sim \chi _{n-1}^{2}$ entonces

{\begin{aligned}&\operatorname {P} \left[\chi _{n-1,\alpha /2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}<\chi _{n-1,1-\alpha /2}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\frac {1}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}>{\frac {\sigma ^{2}}{(n-1)S^{2}}}>{\frac {1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}}<\sigma ^{2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}\right]=1-\alpha \end{aligned}}

por lo tanto un intervalo de $(1-\alpha )100\%$ de confianza para $\sigma ^{2}$ está dado por

\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}},{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}\right)

Distribuciones Relacionadas

La distribución $\chi ^{2}$ con $k$ grados de libertad es un caso particular de la distribución gamma pues si

X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)

entonces

X\sim \chi _{k}^{2}

.

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema del límite central, puede aproximarse por una distribución normal:

\lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

Véase también

Enlaces externos

Calculadora e la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)
DynStats: Laboratorio estadístico en línea con calculadora de funciones de distribución

Datos: Q243462
Multimedia: Chi-square distribution / Q243462

Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.