Variedad algebraica

En geometría algebraica, una variedad algebraica es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un polinomio (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica clásica (y en ciertos aspectos moderna).

La cúbica torcida es una variedad algebraica proyectiva.

Desde un punto de vista histórico, el teorema fundamental del álgebra estableció la relación entre el álgebra y la geometría al indicar que un polinomio de una variable en los números complejos queda determinado por su conjunto de raíces, que es un objeto geométrico inherente. Construyendo sobre este resultado, el Teorema de los ceros de Hilbert establece una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los subconjuntos del espacio afín. Utilizando el teorema de ceros y sus resultados asociados, es posible capturar la noción geométrica de una variedad en términos algebraicos como también hacer que la geometría entienda sobre temas de la teoría de anillos.

Definición

Sea $\scriptstyle \mathbb {K}$ un cuerpo. Sea $\scriptstyle \mathbb {K} [x_{1},...,x_{n}]$ el anillo de polinomios en las variables $\scriptstyle x_{1},...,x_{n}$ y coeficientes en el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {K}$ . Sea $\scriptstyle S\subset \mathbb {K} [x_{1},...,x_{n}]$ . Se define la variedad afín determinada por $\scriptstyle S$ (denotada por $\scriptstyle V(S)$ ) al conjunto:

$V(S):=\{a\in \mathbb {K} ^{n}:f(a)=0,f\in S\}$ .

Es decir, V(S) representa el conjunto de puntos del espacio afín $\scriptstyle \mathbb {K} ^{n}$ en los que se anulan todos los polinomios de $\scriptstyle S$ .

Una variedad afín en un campo algebraicamente cerrado es conceptualmente el topo de variedad más fácil de definir, cosa que se hará en la sección siguiente. Adicionalmente, se pueden definir variedades proyectivas y cuasi-proyectivas en forma similar. La definición más general de variedad se obtiene adosando entre sí variedades cuasu-proyectivas más pequeñas. No es obvio que se pueda construir nuevos ejemplos genueinos de variedades de esta manera, pero Nagata dio un ejemplo de este tipo de variedad nueva en la década de 1950.

Variedades afines

Para un campo algebraicamente cerrado $K$ y un número natural $n$ , sea $A n$ un espacio afín $n$ en $K$ , identificado como $K^{n}$ mediante la elección de un sistema coordenado afín. Los polinomios $f$ en el anillo $K [x 1, ..., x n]$ se pueden considerar como funciones con valores K en $A n$ si se evalúa $f$ en los puntos en $A n$ ,o sea eligiendo valores en K para cada x_i. Para cada conjunto S de polinómios en $K [x 1, ..., x n]$ , define the zero-locus Z(S) to be the set of points in $A n$ en los cuales las funciones en S desaparecen simultáneamente, o sea

Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.

Un subconjunto V de $A n$ es denominado un conjunto algebraico afín si V = Z(S) para algún S.[1]^: 2 Un conjunto algebraico afín no vacío V se denomina irreducible si no puede ser expresado como la unión de dos subconjuntos algebraicos proper.[1]^: 3 Un conjunto algebraico afín irreducibletambién es llamado una variedad afín.[1]^: 3 (Muchos autores usan la frase variedad afín para referirse a todo conjunto algebraico afín, irreducible o no[note 1])

A las variedades afines se les puede dar una topología natural declarando que los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos algebraicos afines. Esta topología se denomina topología de Zariski.[1]^: 2

Dado un subconjunto V de $A n$ , se define I(V) como el ideal de todas las funciones polinómicas que se anulan en V:

I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.

Para cualquier conjunto algebraico afín V, el anillo coordenado o anillo estructura de V es el cociente del anilo polinómico por este ideal.[1]^: 4

Variedades proyectivas y cuasi -proyectivas

Sea $k$ un campo cerrado algebraico y sea $P n$ el espacio proyectivo -n en $k$ . Sea $f$ en $k [x 0, ..., x n]$ un polinomio homogéneo de grado d. It is not well-defined to evaluate $f$ en puntos de $P n$ en coordenadas homogéneas. Sin embargo, because $f$ es homogéneo, lo que significa que $f (λx 0, ..., λx n) = λ d f (x 0, ..., x n)$ , it does make sense to ask whether $f$ vanishes at a point $[x 0 : ... : x n]$ . Para cada conjunto S de polinomios homogéneos, define the zero-locus of S to be the set of points in $P n$ en el cual las funciones en S desaparecen:

Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.

Existencia de variedades algebraicas abstractas no-cuasiproyectivas

Uno de los primeros ejemplos de una variedades algebraicas no-cuasiproyectiva fue provisto formulado por Nagata.[2] El ejemplo de Nagat no era completo (el análogo de compacticidad), pero poco después Nagata encontró una superficie algebraica que era completa y no-proyectiva.[3][1]^{: Remark 4.10.2 p.105} Desde entonces se han encontrado otros ejemplos; por ejemplo, it is straightforward to construct a variedad tórica que no es cuasi-proyectiva pero si completa.[4]

Referencias

En la página 65 de Fulton, William (1993), Introduction to toric varieties, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00049-7., una nota describe una variedad tórica completa que tiene un paquete de línea no trivial; por lo que en particular, no posee paquete de línea amplio.

Bibliografía

Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (second edition edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra (third edition edición). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. (2005). «Affine variety». Consultado el 30 de junio de 2008.

Datos: Q648995

Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3

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[5] En la página 65 de Fulton, William (1993), Introduction to toric varieties, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00049-7., una nota describe una variedad tórica completa que tiene un paquete de línea no trivial; por lo que en particular, no posee paquete de línea amplio.

[2] Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3