Trapecio (geometría)

Trapecio
	; 4 lados con solo dos paralelos; (Trapecios rectángulo, isósceles y escaleno)
Características
Tipo	Cuadrilátero, no paralelogramo
Lados	4
Vértices	4
Grupo de simetría	m
Polígono dual	Rectángulo
Propiedades
	Convexo, cíclico; Ángulos opuestos y lados cogruentes.

En la geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene solamente un par de lados paralelos.[1][2]

Terminología frecuente

Elementos relevantes del trapecio, además de los heredados del cuadrado:

A sus lados paralelos se les llama bases del trapecio.
Altura del trapecio es un segmento que une perpendicularmente las dos bases o sus prolongaciones. La altura también es la longitud del segmento del mismo nombre y coincide con la distancia entre las bases. Véase ɑ con un segmento azul en la figura.
Se denomina mediana al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.[3] Véase m con un segmento verde en la figura. Se obtiene sumando las dos bases y dividirlas en dos partes iguales.

Tipos

Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:

Trapecio rectángulo es aquel que tiene un lado perpendicular a sus bases. Véase 1 en la imagen derecha.
- Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
Trapecio isósceles es aquel que tiene los lados no paralelos de igual medida. Véase 2 en la imagen derecha.
- Tiene un eje de simetría que pasa por el punto medio de sus bases.
- Tiene dos ángulos internos agudos iguales sobre una base y dos ángulos internos obtusos iguales en la otra base.
- Tiene sus dos diagonales iguales.
- Sus ángulos internos opuestos son suplementarios, es decir, la suma es $180^{\circ }$ y por tanto es inscribible.
Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo. Véanse en 3 que a ángulo obtusos se opone uno agudo y viceversa, pero véase en 4 que a ángulos obtusos se opone otro obtuso y a ángulo agudo se opone otro agudo.
- Sus lados no paralelos tienen longitudes diferentes.
- Sus cuatro ángulos internos son diferentes.

Propiedades

La longitud de la mediana, m, de un trapecio es igual a la suma de la longitud de sus bases, a y b dividida entre dos:

m={\frac {a+b}{2}}

El segmento que une los puntos medios de sus diagonales, n, tiene una longitud igual a la base mayor menos la menor dividida entre dos:

n={\frac {b-a}{2}}

Si los lados de un trapecio son respectivamente iguales a los de otro trapecio, entonces los trapecios son iguales.

La altura h de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases, a y c, y de los dos lados b y d, mediante la siguiente ecuación:

h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-\left(d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2(a-c)}}

En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d.

Diagonales y lados

Teniendo en cuenta que $d_{1},d_{2}$ son las diagonales, $a,b$ las bases, $c,d$ los lados no paralelos, n el segmento que conecta los puntos medios de las bases, m la paralela a las bases que pasa por la intersección de diagonales, se cumplen estas fórmulas:

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab

m={\frac {2ab}{a+b}}d_{1}^{2}+d_{2}^{2}

n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+d^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2})}}

n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-ab)-(a^{2}+b^{2})}}

[4]

Área

Distintos tipos de trapecios y su relación con los paralelogramos

El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:

A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}

.

Si solo se conocen las longitudes de los cuatro lados:

A={\frac {a+c}{4(|a-c|)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}}

Donde a y c son las bases del trapecio.

Teorema de Euler

El teorema de Euler, en el caso de un trapecio isósceles, se reduce a

a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2d^{2}+4m^{2}\,

siendo a y b las bases, c el lado igual y d la diagonal y m el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Caso isósceles

Siendo a la base mayor; b, la base menor; c=d, los lados no paralelos; γ, ángulo en la base mayor, resulta el área:[5]

A=(a-\cos \gamma )c\operatorname {sen} \gamma =(b+\cos t\gamma )c\operatorname {sen} \gamma

Véase también

Referencias

Estrada y Sánchez. Geometría Plana Editorial Pueblo y Educación ISBN 978-959-13-1910-4
Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. «Trapecio». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
También llamado base media en algunos textos o en diccionarios es llamado como paralela media.Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.
García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de Geometría
Heddy Ilasaca. Formulario de ciencias ISBN 978-612-4005-36-7

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Trapecios.

Datos: Q46303
Multimedia: Trapezoids / Q46303

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[1] Estrada y Sánchez. Geometría Plana Editorial Pueblo y Educación ISBN 978-959-13-1910-4

[2] Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. «Trapecio». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).

[3] También llamado base media en algunos textos o en diccionarios es llamado como paralela media.Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.

[4] García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de Geometría

[5] Heddy Ilasaca. Formulario de ciencias ISBN 978-612-4005-36-7