Topología general

En matemáticas, la topología general es la rama de topología que trata las definiciones y construcciones básicas de teoría de conjuntos usadas en topología. Contiene los fundamentos de la mayoría de las otras ramas de la topología, incluyendo topología diferencial, topología geométrica, y topología algebraica.

El seno del topólogo, un ejemplo útil en topología general. Es conexo pero no conexo por caminos.

Los conceptos fundamentales en topología general son continuidad, compacidad y conexión:

  • Las funciones continuas, intuitivamente, llevan puntos cercanos a puntos cercanos.
  • Los conjuntos compactos son los que pueden ser cubiertos por finitos conjuntos arbitrariamente pequeños.
  • Los conjuntos conexos son los que no pueden ser divididos en piezas lejanas.

Las ideas de «cercano», «arbitrariamente cercano» y «lejano» pueden expresarse de forma precisa usando los conjuntos abiertos. Si cambiamos qué conjuntos son abiertos, cambiamos qué funciones son continuas y qué conjuntos son compactos y/o conexos. Se llama topología a cada elección de «conjuntos abiertos». Se llama espacio topológico a un conjunto dotado de una topología.

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos en los que se puede asignar un número a las distancias, llamada una métrica. La existencia de una métrica simplifica la mayoría de las demostraciones, y muchos de los espacios topológicos más comunes son también espacios métricos.

Historia

La topología general se desarrolló gracias a varias áreas, siendo las más importantes:

La topología general alcanzó la forma que se conoce hoy en día en alrededor de 1940. Prácticamente todo se captura en una forma apropiada de la noción de continuidad, que puede ser usada en cualquier área de la matemática.

Una topología en un conjunto

Sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Se dice que τ es una topología si:[1][2]

  1. El conjunto vacío y X son elementos de τ
  2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ
  3. Cualquier intersección de una cantidad finita de elementos de τ es un elemento de τ

Si τ es una topología en X, entonces el par (X, τ) se dice espacio topológico. La notación Xτ puede ser usada para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ.

Llamamos a los elementos de τ los conjuntos abiertos en X. Un subconjunto de X se dice cerrado si su complemento pertenece a τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (conjunto clopen), o ninguno. El conjunto vacío y X siempre son, a la vez, abiertos y cerrados.

Base para una topología

Una base B para un espacio topológico (X,τ) es una colección de conjuntos abiertos en τ tal que cada conjunto abierto en τ puede ser escrito como unión de elementos de B. Decimos que la base genera la topología τ. Las bases son útiles porque muchas propiedades de una topología pueden escritas solo en término de una base que genera tal topología, y porque en muchos casos las es más sencillo definir una topología en términos de una base que la genera.[3][4]

Subespacio, producto y cociente

Un subconjunto de un espacio topológico puede ser visto como un espacio topológico al dotarlo de la topología traza, definida como la topología cuyos abiertos son las intersecciones de los abiertos del espacio original con el subespacio.

Dada cualquier familia indexada de espacios topológicos, el producto puede ser dotado de la topología producto, la cual está generada por las preimágenes de los abiertos de los factores a través de las proyecciones. Por ejemplo, en productos finitos una base para la topología producto consta de todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, es necesario agregar el requisito adicional que todos salvo finitos abiertos sean la totalidad del espacio.

Un espacio cociente se define como sigue: si X es un espacio topológico, Y es un conjunto y f: X → Y es una función sobreyectiva, entonces la topología cociente en Y es la colección de subconjuntos de Y que tienen preimágenes por f abiertas. En otras palabras, la topología cociente es la topología más fina en Y para la cual f es continua. Un ejemplo común de topología cociente es la inducida por una relación de equivalencia en X. La aplicación f es entonces la proyección natural al conjunto de clases de equivalencia.

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si se dota a un conjunto de una topología diferente, el espacio topológico resultante es diferente. Cualquier conjunto puede ser dotado de la topología discreta en la que todo subconjunto es abierto. Las únicas sucesiones o redes convergentes en esta topología son las que son últimamente constantes. También, cualquier conjunto puede ser dotado de la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y el espacio en su totalidad son abiertos. Toda sucesión y toda red en esta topología convergen a todo punto del espacio. Este ejemplo muestra que, en un espacio topológico general, los límites de sucesiones no son necesariamente únicos. Sin embargo, es frecuente requerir que los espacios topológicos sean espacios de Hausdorff, espacios en los que los límites de sucesiones sí son únicos.

Hay muchas maneras de definir una topología en R, el conjunto de los números reales. La topología estándar en R está generada por los intervalos abiertos, es decir, el conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología. En particular, esto implica que un conjunto es abierto si existe un intervalo abierto de radio no nulo centrado en cada punto del conjunto y completamente contenido en tal conjunto.

Referencias
  1. Munkres, James R. Topology.
  2. Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa.
  3. Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. New York: John Wiley & Sons. pp. 16. ISBN 0-471-83817-9. Consultado el 27 de julio de 2012. «Definition. A collection B of subsets of a topological space (X,T) is called a basis for T if every open set can be expressed as a union of members of B. »
  4. Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. Springer. p. 30. ISBN 0-387-90839-0. Consultado el 13 de junio de 2013. «Suppose we have a topology on a set X, and a collection of open sets such that every open set is a union of members of . Then is called a base for the topology... »

Bibliografía general
  • Nicolas Bourbaki, Topologie Générale (General Topology), ISBN 0-387-19374-X.
  • John L. Kelley (1955) General Topology, link from Internet Archive, originally published by David Van Nostrand Company.
  • Stephen Willard], General Topology, ISBN 0-486-43479-6. (en inglés)
  • James Munkres, Topology, ISBN 0-13-181629-2. (en inglés)
  • George F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, ISBN 1-575-24238-9. (en inglés)
  • Paul L. Shick, Topology: Point-Set and Geometric, ISBN 0-470-09605-5. (en inglés)
  • Ryszard Engelking, General Topology, ISBN 3-88538-006-4. (en inglés)
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995, original 1978), Counterexamples in Topology (en inglés) (Dover Publications reprint of 1978 edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446.
  • O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev, Elementary Topology: Textbook in Problems, ISBN 978-0-8218-4506-6. (en inglés)
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