Teorema de Heine-Borel

Sea ${\displaystyle F}$ un conjunto cerrado y ${\displaystyle K}$ un conjunto compacto tales que ${\displaystyle F\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

Sea ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ una cubierta abierta de ${\displaystyle F}$, entonces ${\displaystyle \{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}}$ es una cubierta abierta de ${\displaystyle K}$ (podemos agregar ${\displaystyle F^{c}}$ ya que es abierto). Como ${\displaystyle K}$ es compacto entonces ${\displaystyle \{G_{a},F^{c}\}}$ tiene un refinamiento finito que también cubre a ${\displaystyle K}$. Podemos quitar a ${\displaystyle F^{c}}$ y sigue cubriendo a ${\displaystyle F}$. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de ${\displaystyle F}$

Si ${\displaystyle E}$ no tuviera puntos de acumulación en ${\displaystyle K}$ entonces ${\displaystyle \forall a\in K\exists B_{\varepsilon }(a)}$ tal que ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)-a}$ no contiene puntos de ${\displaystyle E}$ donde ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ es una epsilon-vecindad y ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta para ${\displaystyle E}$ pero no tiene un refinamiento finito, esto también es cierto para ${\displaystyle K}$, que contradiría la definición de que es compacto.

Sea ${\displaystyle I}$ una k-celda que consiste de todos los puntos x${\displaystyle =(x_{1},x_{2},...,x_{k})}$ tal que ${\displaystyle a\leq x_{j}\leq b}$ y ${\displaystyle j=1,2,...,k}$. Sea ${\displaystyle \delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}}$ entonces si ${\displaystyle x,y\in I}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$. Sea ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ una cubierta arbitraria de ${\displaystyle I\,}$ y supongamos que ${\displaystyle I}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s.

Tomemos ${\displaystyle c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}}$ entonces los intervalos ${\displaystyle [a_{s},c_{s}][c_{s},b_{s}]}$ determinan ${\displaystyle 2^{k}}$ celdas ${\displaystyle Q_{i}i=1,2,...,2^{k}}$. Entonces por lo menos un ${\displaystyle Q_{i}}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s. Lo llamaremos ${\displaystyle I_{1}}$ y así obtenemos una sucesión ${\displaystyle \{I_{n}\}}$ tal que:

1. ${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...}$.
2. ${\displaystyle I_{n}}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s.
3. Si ${\displaystyle x,y\in I_{n}}$ entonces ${\displaystyle |x-y|<2^{-n}\delta }$.
4. ${\displaystyle {\cap }_{n}I_{n}\neq \emptyset }$

Digamos que ${\displaystyle h\in {\cap }_{n}I_{n}}$, como ${\displaystyle {\cup }_{a}G_{a}}$ cubre a ${\displaystyle I}$ entonces ${\displaystyle h\in G_{b}\subset {\cup }_{a}G_{a}}$. Como ${\displaystyle G_{b}}$ es abierto ${\displaystyle \exists B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$. Si tomamos n suficientemente grande tal que ${\displaystyle 2^{-n}\delta <\varepsilon }$ tenemos que este ${\displaystyle I_{n}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$ lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s.

Si cumple 1) entonces ${\displaystyle E\subset I}$ para alguna k-celda ${\displaystyle I}$, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si ${\displaystyle E}$ no es acotado, entonces contiene un conjunto {${\displaystyle x_{n}}$} tal que ${\displaystyle |x_{n}|>n}$ entonces el subconjunto {${\displaystyle x_{n}}$} es infinito pero no tiene puntos de acumulación en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, lo cual contradice 3). Si ${\displaystyle E}$ no es cerrado, entonces existe un elemento ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ que es un punto de acumulación de ${\displaystyle E}$ pero no está en ${\displaystyle E}$. Para ${\displaystyle n=1,2,...}$ existen ${\displaystyle x_{n}\in E}$ tales que ${\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<1/n}$, entonces el conjunto {${\displaystyle x_{n}}$} es un subconjunto infinito de ${\displaystyle E}$ cuyo único punto de acumulación es el ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, que no pertenece a ${\displaystyle E}$, lo que contradice 3).