Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

${\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}}$

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por ${\displaystyle G'}$ o ${\displaystyle [G,G]}$. Esto significa que si ${\displaystyle x\in [G,G]}$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

${\displaystyle x=a_{1}b_{1}{a_{1}}^{-1}{b_{1}}^{-1}a_{2}b_{2}{a_{2}}^{-1}{b_{2}}^{-1}\cdots a_{r}b_{r}{a_{r}}^{-1}{b_{r}}^{-1}}$.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente ${\displaystyle G/[G,G]}$ es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$ verifica que ${\displaystyle G/H}$ es abeliano entonces ${\displaystyle [G,G]\subseteq H}$.

La construcción ${\displaystyle G/[G,G]}$ recibe el nombre de abelianización de G.