Prueba χ²

En 1900, Pearson publicó un trabajo[2] sobre la prueba χ² el cual es considerado uno de las piedras fundacionales de la estadística moderna.[7] En este trabajo, Pearson investigó una prueba de bondad de ajuste.

Suponiendo que se clasifican n observaciones de una muestra aleatoria de una población en k clases mutuamente exclusivas con número respectivos observados x_i (para i = 1,2,…,k), y una hipótesis nula de la probabilidad p_i que una observación se encuentre dentro de la clase i-ésima. Por lo que se tienen los números esperados m_i = np_i para todo i, donde

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1\\[8pt]&\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=n\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=n=\sum _{i=1}^{k}{x_{i}}\end{aligned}}}$

Pearson propuso que, bajo la hipótesis de que la hipótesis nula es cierta, en la medida que n → ∞ la distribución límite de la cantidad indicada abajo es la distribución χ².

${\displaystyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}}$