Paralelismo (matemática)

En geometría el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual a 1 (rectas, planos, hiperplanos entre otros). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente[1][2] o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.

Dos rectas paralelas.
Planos paralelos.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si, o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio dos planos son paralelos si, o bien son uno y el mismo plano, o bien no comparten ninguna recta.

Rectas paralelas
Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando solo regla y compás

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidad

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una paralela a dicha recta.

Propiedades

Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: que representamos del siguiente modo:

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

  • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
  • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

  • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas
  • En un plano dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
  • Si en un plano una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta.

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Véase también

Referencias
  1. Llopis, José L. «Rectas paralelas y perpendiculares». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 17 de febrero de 2020.
  2. Sapiña, R. «Paralelas y perpendiculares». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 17 de febrero de 2020.
Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.