Norma vectorial

En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia euclídea (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector ${\displaystyle {\vec {AB}}}$.

• En dos dimensiones:

${\displaystyle \|{\vec {AB}}\|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {OA}}=(a_{1},a_{2})}$ y ${\displaystyle {\vec {OB}}=(b_{1},b_{2})}$ y O el origen de coordenadas de dicho espacio.

• Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:

${\displaystyle \|{\vec {AB}}\|={\sqrt {{(b_{1}-a_{1})^{2}}+{(b_{2}-a_{2})^{2}}+{(b_{3}-a_{3})^{2}}}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {OA}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ y ${\displaystyle {\vec {OB}}=(b_{1},b_{2},b_{3})}$

• En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene:

${\displaystyle \|{\vec {AB}}\|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+...+(b_{n}-a_{n})^{2}}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {OA}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ y ${\displaystyle {\vec {OB}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$.

De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en la que un vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ viene dado por sus componentes en esta base, ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathcal {B}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$, entonces la norma de dicho vector viene dada por:

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}}$

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:

• Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.
• La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
• La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado, también generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz). Se presentan dos maneras de forma, una casi directa y apunta a lo dicho: longitud de vector. La otra usa la noción de operador y mayor simbolismo de la matemática formal (tipo Bourbaki).

Esto genera la siguiente

Definición aplicable cuando ${\displaystyle V=R^{n}}$

Se denomina norma de un vector ${\displaystyle x\in R^{n}}$ si satisface las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle \|x\|>=0;\|x\|=0\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle x=0}$.

• ${\displaystyle \|{x}+{y}\|\leq \|{x}\|+\|\ {y}\|}$ (propiedad triangular).

• ${\displaystyle \|\alpha \ x\|=|\alpha |\cdot \|\ x\|}$ para todo ${\displaystyle \alpha \in (-\infty ,\infty )}$. [1]

Definición general

Sea ${\displaystyle \mathbf {V} }$ un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle {\vec {x}}}$ un vector del espacio. Se dice que ${\displaystyle \|\cdot \|:V\rightarrow \mathbb {R} }$ es un operador que define la norma de ${\displaystyle {\vec {x}}}$, que denotaremos como ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|}$, si cumple:

1. Para todo ${\displaystyle {\vec {x}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ su norma ha de ser no negativa, y será cero si y sólo si ${\displaystyle {\vec {x}}}$ es el vector cero: ${\displaystyle 0<\|{\vec {x}}\|}$ si ${\displaystyle {\vec {x}}\neq {\vec {0}}}$ y ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|=0\Longleftrightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}}$.
2. Para todo ${\displaystyle {\vec {x}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ y para todo ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ se satisface que ${\displaystyle \|k{\vec {x}}\|=|k|}$ · ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|}$.
3. Para todos ${\displaystyle {\vec {x}}}$ e ${\displaystyle {\vec {y}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ se cumple que ${\displaystyle \|{\vec {x}}+{\vec {y}}\|\leq \|{\vec {x}}\|+\|{\vec {y}}\|}$ (desigualdad triangular).

Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

• Para un vector ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ se define la norma-p como:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+...+|x_{n}|^{p}}}}$

Así, para el caso ${\displaystyle p=1}$ se obtiene ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|}$, y para el caso ${\displaystyle p=2}$ se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

• Otro operador norma sería, la norma infinito:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{n}|)=\max _{i\in \{1,\dots ,n\}}|x_{i}|}$

Donde ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$. Para un espacio de dimensión infinita numerable se podría escribir:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|}$

La elección del subíndice ${\displaystyle \infty }$ para esta norma se debe al hecho de que:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\,\,\|{\vec {x}}\|_{p}=\|{\vec {x}}\|_{\infty }}$

• En un espacio vectorial dotado de producto escalar o Espacio prehilbertiano existe una norma asociada al producto escalar definida como (La coma indica producto interno):

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x^{*}\rangle }}}$ donde x* es el complejo conjugado de x

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

En ${\displaystyle R^{n}}$ todas las normas son equivalentes (desde el punto de vista de la convergencia), esto es, que para dos normas cualesquiera ${\displaystyle \|.\|_{1}}$ y ${\displaystyle \|.\|_{2}}$ existen dos constantes ${\displaystyle \gamma }$ y ${\displaystyle \lambda }$ tales que

${\displaystyle \|x\|_{1}\leq \gamma \|x\|_{2}}$ y ${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \lambda \|x\|_{1}}$ para todo ${\displaystyle x\in R^{n}.}$ [2]

Norma de Lebesgue

${\displaystyle \|v\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{0}^{T}|v(t)|^{p}\,{\text{d}}t}}}$ en el espacio ${\displaystyle L_{p}[0,T],1\leq p<\infty }$, formado por todas las funciones escalares medibles ${\displaystyle v(t)}$ definidas sobre ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$ [3]

Norma de Sobolev

${\displaystyle \|u\|_{m,p}={\sqrt[{p}]{\int _{\Omega }\sum _{|\alpha |\leq m}|D^{\alpha }u|^{p}\,{\text{d}}x}}}$ en ${\displaystyle C^{m}(\Omega )}$ el conjunto de todas las funciones reales con m derivadas continuas definidas en ${\displaystyle \Omega }$, donde este conjunto es acotado y abierto en ${\displaystyle R^{n}}$ [4]

• Tensor métrico
• Espacios vectoriales normados
• Espacios métricos