Media generalizada

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc).

Se define como:

${\displaystyle M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}}$

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

${\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media cuadrática

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media aritmética

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media geométrica

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media armónica

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})}$

Propiedades:

${\displaystyle M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j}$

Para ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ es continua respecto a ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$.

Obsérvese que para valores de ${\displaystyle m\leq 0}$ la expresión solo tiene sentido si todos los ${\displaystyle x_{i}\geq 0}$.

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.[1]