Ideal artiniano

Coja ${\displaystyle R=k[x,y,z]}$, y coja ${\displaystyle I=(x^{2},y^{5},z^{4}),\;J=(x^{3},y^{2},z^{6},x^{2}yz^{4},yz^{3})}$ y${\displaystyle \displaystyle {K=(x^{3},y^{4},x^{2}z^{7})}}$. Aquí, ${\displaystyle \displaystyle {I}}$y ${\displaystyle \displaystyle {J}}$ son ideales Artinianos, pero ${\displaystyle \displaystyle {K}}$no porque en ${\displaystyle \displaystyle {K}}$, el indetermindado ${\displaystyle \displaystyle {z}}$ no aparece solo a una potencia como un generador.

Para tomar el cierre Artiniano de ${\displaystyle \displaystyle {K}}$, ${\displaystyle \displaystyle {\hat {K}}}$,encontramos el MCM de los generadores de ${\displaystyle \displaystyle {K}}$, que son ${\displaystyle \displaystyle {x^{3}y^{4}z^{7}}}$. Luego, sumamos los generadores ${\displaystyle \displaystyle {x^{4},y^{5}}}$, y ${\displaystyle \displaystyle {z^{8}}}$ a ${\displaystyle \displaystyle {K}}$, y reducimos. Así, tenemos ${\displaystyle \displaystyle {\hat {K}}=(x^{3},y^{4},z^{8},x^{2}z^{7})}$ que es Artiniano.