Apotema

Fórmulas de la apotema y de la sagita

• Sea ${\displaystyle C}$ una circunferencia de centro ${\displaystyle O}$

De «radio» ${\displaystyle r=OQ}$

Y sea ${\displaystyle FM=l}$ uno de los lados del polígono regular inscrito, de ${\displaystyle n}$ lados, cuyo perímetro conocemos.

De «apotema» ${\displaystyle a=OK}$

De «sagita» ${\displaystyle s=KQ}$

• Lado del polígono: ${\displaystyle =l}$
• Apotema: ${\displaystyle =a}$
• Sagita: ${\displaystyle =s}$
• Radio: ${\displaystyle =r}$
• Área del polígono: ${\displaystyle =A}$
• Cantidad de lados: ${\displaystyle n}$

Entonces:

${\displaystyle P=nl}$, y ${\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}}$

El diccionario Larousse define sagita como la parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y el de su cuerda.

Entonces la apotema ${\displaystyle OK=a}$, viene dada por la fórmula:

${\displaystyle a={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}}$

Por lo tanto una vez calculado el valor de la apotema se puede conocer el valor de la sagita ${\displaystyle KQ=s}$, toda vez que ${\displaystyle s=r-a}$. Por su parte el segmento ${\displaystyle FM=l}$ del polígono regular inscrito se puede calcular a partir de la fórmula:

${\displaystyle l=2{\sqrt {s^{2}+2as}}}$

Si se desconoce el valor, tanto de la apotema (${\displaystyle a}$) como de la sagita (${\displaystyle s}$), entonces la longitud del segmento ${\displaystyle FM=l}$, se puede calcular a partir de la fórmula:

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\cdot n}}=x}$

En donde ${\displaystyle n}$, es la cantidad de lados que tiene el polígono regular inscrito.

${\displaystyle sen(x)=k}$

${\displaystyle 2\cdot r\cdot k=l}$

Determinando el radio a partir de una cuerda y un arco

Es posible también determinar el radio del círculo cuando se proporciona un arco, si se conoce la longitud ${\displaystyle L}$ de una cuerda, y a la vez, la distancia ${\displaystyle d}$ que hay del punto medio de la cuerda al punto medio del arco determinado por la cuerda usando la fórmula:

${\displaystyle r={\frac {(L/2)^{2}+d^{2}}{2d}}}$

o la ecuación trigonométrica:

${\displaystyle r={\frac {L}{2\sin \left(180^{\circ }-2\arctan {\frac {L}{2d}}\right)}}}$

En donde:

un lado del polígono ${\displaystyle =l}$, es la longitud ${\displaystyle L}$ (véase imagen).

y la sagita ${\displaystyle =s}$, es la distancia ${\displaystyle d}$.

Si se considera:

• Que solo triángulo tiene tres lados y tres vértices.
• Que en la geometría euclidiana, la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180°.
• Que existen ángulos, tanto de 0º como de 90º.

Entonces, nos encontramos legitimados para hacer un experimento mental, en donde uno de los ángulos internos del triángulo mida 0º, y los dos restantes 90º cada uno. En tal caso, uno de los lados del triángulo medirá 0 cm, y los dos restantes tienen el diámetro de la circunferencia. En ese triángulo, así confeccionado, visualizaremos dos de sus lados traslapados. Con ello no violamos ninguno de los postulados precedentes.

Confirma lo anterior el segundo teorema de Tales: «Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto».

Sea ${\displaystyle C_{x}}$ un punto cualquiera de la circunferencia de diámetro ${\displaystyle [AB]}$, igual o distinto de los puntos A y de B. Entonces el triángulo ${\displaystyle ABC_{x}}$ siempre será un triángulo rectángulo.

En otras palabras, podemos manifestar que el teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, en donde uno de sus lados siempre es el diámetro de la circunferencia; entonces el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto.

• El segmento ${\displaystyle \left[AB\right]}$ es el diámetro de la circunferencia. Diámetros que, para el triángulo rectángulo inscrito ${\displaystyle ABC_{x}}$, será la hipotenusa con carácter invariante.
• Asimismo existe otra constante, según ya lo señalamos, dado que los fasores en el punto ${\displaystyle C_{x}}$, siempre tienen ${\displaystyle 90^{0}}$, debemos aplicar la ley de los cosenos, en donde ${\displaystyle {_{\Delta }\,X}}$ y ${\displaystyle {_{\Delta }Z}}$ son los fasores (véase arco capaz):

${\displaystyle (Hipotenusa)^{2}=}$ ${\displaystyle {_{\Delta }X^{2}}-2x{_{\Delta }X}x{_{\Delta }Z}x\cos 90^{0}+{_{\Delta }Z^{2}}}$

${\displaystyle Hipotenusa=}$ ${\displaystyle {\sqrt {{_{\Delta }X^{2}}-2x{_{\Delta }X}x{_{\Delta }Z}x\cos 90^{0}+{_{\Delta }Z^{2}}}}}$

Considerando que toda cantidad multiplicada por cero es cero ${\displaystyle (\cos 90^{0}=0)}$, podemos eliminar de la ecuación esta parte: ${\displaystyle (-2x{_{\Delta }X}x{_{\Delta }Z}x\cos 90^{0})}$

${\displaystyle Hipotenusa=}$ ${\displaystyle {\sqrt {{_{\Delta }X^{2}}+{_{\Delta }Z^{2}}}}}$

Nota: La longitud de la hipotenusa, para este caso, siempre será igual al diámetro de la circunferencia, y a la vez ${\displaystyle \cos 90^{0}=0}$, de manera tal que la longitud variable de los fasores ${\displaystyle {_{\Delta }X}}$ y ${\displaystyle {_{\Delta }Z}}$, son calculables —para cualquiera que sea la ubicación del punto ${\displaystyle C_{x}}$— ya sea por las fórmulas trigonometricas, o a través del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle {_{\Delta }\,X}=}$ ${\displaystyle {\sqrt {H^{2}-{_{\Delta }Z^{2}}}}}$

${\displaystyle {_{\Delta }Z}=}$ ${\displaystyle {\sqrt {H^{2}-{_{\Delta }X^{2}}}}}$

• Ver mayores antecedentes en dilatación del tiempo y contracción de la longitud

• Los puntos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C_{x}}$ al ser traslapados por el perímetro de la circunferencia, son puntos cocíclicos.
• Si un nodo es un punto que permanece fijo para un determinado marco de referencia, entonces los puntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son nodos equidistantes entre sí, que además dividen la circunferencia en dos semicírculos.
• El punto ${\displaystyle C_{x}}$ puede estar en cualquier lugar del perímetro de cualquiera de ambos semicírculo, incluso traslapando al punto ${\displaystyle A}$ o al punto ${\displaystyle B}$.
• La longitud de un cateto tiende a cero cuando su ángulo adyacente tiende a cero. Y en contra partida, la longitud del otro cateto tiende a igualar el valor de la hipotenusa.

Todo lo expuesto anteriormente permite iniciar el cálculo del apotema y de la sagita, para este caso especial:

${\displaystyle sen(x^{\circ })=k}$

${\displaystyle 2\cdot r\cdot k=l}$

En donde:

${\displaystyle l=}$ longitud del cada lado del polígono regular.

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\cdot 2}}=90^{0}}$

${\displaystyle sen(90^{0})=1}$

Longitud de cada lado traslapado ${\displaystyle =2\cdot 10\cdot 1=20}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {20}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =0}$

Sagita ${\displaystyle =10-0=10}$

Este caso especial encierra una paradoja, puesto que: no se está en presencia de un polígono regular inscrito, y a pesar de su inexistencia, se pudo calcular sin dificultad la sagita y la apotema. ¿La apotema y la sagita serán ajenas a los polígonos regulares inscritos?

Visualícese, en este caso especial, qué propiedades del polígono regular inscrito se han cumplido y cuáles no:

1. Todos los vértices del polígono regular inscrito son puntos cocíclicos: se cumple esta propiedad, ya que el perímetro de la circunferencia toca los puntos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C_{x}}$.
2. El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono: También se cumple esta propiedad, porque el centro del polígono traslapa el centro de la circunferencia que lo inscribe.
3. Todos los puntos cocíclicos del polígono regular inscrito son equidistantes, y dividen, el perímetro de la circunferencia, en partes iguales: ¿se cumple o no esta propiedad?, el punto ${\displaystyle C_{x}}$ traslapa al punto ${\displaystyle A}$, tienen la misma ubicación, por lo que son equidistantes entre sí; ambos puntos están, entre sí, a una distancia cero, pero la distancia al punto ${\displaystyle B}$ es diferente a cero. Los puntos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C_{x}}$ dividen el perímetro de la circunferencia en dos partes iguales, cuando en el hecho tres puntos la debieran dividir en tres porciones.
4. Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma longitud: no se cumple, dado que uno de los lados del polígono tiene una longitud de 0, y los dos restante tienen por longitud el diámetro de la circunferencia.
5. Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes: no se cumple, porque uno tiene 0º y los dos restantes 90º.

Al parecer, para calcular el “apotema” y la “sagita” es suficiente con considerar la cantidad de puntos cocíclicos, los que pueden ir desde uno hasta infinito. En efecto, ${\displaystyle l_{n}}$ será la cantidad de puntos cocíclicos.

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\cdot l_{n}}}=x^{\circ }}$

Y para este caso, consideraremos que tenemos un solo punto cocíclico.

${\displaystyle sen(x^{\circ })=k}$

${\displaystyle 2\cdot r\cdot k=l}$

En donde:

${\displaystyle l=}$ longitud del cada lado del polígono regular.

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\cdot 1}}=180^{\circ }}$

${\displaystyle sen(180^{\circ })=0}$

Longitud, en línea recta, que separa a cada punto cocíclico, para este caso es ${\displaystyle 2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0=0}$, dado que, en este ejemplo, tenemos solamente un punto.

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =10}$

Sagita ${\displaystyle =10-10=0}$

${\displaystyle senaa^{1}=V}$

${\displaystyle 2\cdot r\cdot k=l}$

En donde:

${\displaystyle l=}$ longitud del cada lado del polígono regular.

${\displaystyle {\frac {360^{0}}{2x3}}=60^{0}}$

${\displaystyle sen(60^{0})=0,866025404}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0,866025404=17,32050808}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {17,32050808}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =5}$

Sagita ${\displaystyle =10-5=5}$

${\displaystyle {\frac {360^{0}}{2x4}}=45^{0}}$

${\displaystyle sen(45^{0})=0,7071068}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0,7071068=14,14213562}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {14,14213562}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =7,071067812}$

Sagita ${\displaystyle =10-7,071067812=2,928932188}$

${\displaystyle {\frac {360^{0}}{2x6}}=30^{0}}$

${\displaystyle sen(30^{0})=0,5000000}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0,5000000=10}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =8,660254038}$

Sagita ${\displaystyle =10-8,660254038=1,339745962}$

${\displaystyle {\frac {360^{0}}{2x7}}=25,71428^{0}}$

${\displaystyle sen(25.71428^{0})=0,4338836}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x10\cdot x\cdot 0,4338836=8,677672985}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {8,677672985}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =9,00968909}$

Sagita ${\displaystyle =10-9,00968909=0,99031091}$

${\displaystyle {\frac {360^{0}}{2x8}}=22,5^{0}}$

${\displaystyle sen(22,5^{0})=0,3826834}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0,3826834=7,653668647}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {7,653668647}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =9,238795325}$

Sagita ${\displaystyle =10-9,238795325=0,761204675}$

${\displaystyle {\frac {360^{0}}{2x360}}=0,5^{0}}$

${\displaystyle sen(0,5^{0})=0,0087265}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0,0087265=0,17453071}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0,17453071}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =9,999619231}$

Sagita ${\displaystyle =10-9,999619231=0,000380769}$

${\displaystyle Gugol=10^{100}}$

En este caso, la gran cantidad de lados del polígono regular tiende al infinito, y se asemeja más a una circunferencia, por lo que la sagita tiende a cero y la apotema a la longitud del radio.

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\cdot 10^{100}}}=\approx 0^{\circ }}$

${\displaystyle sen\approx 0^{\circ }=\approx 0}$

Longitud de cada lado del polígono regular ${\displaystyle =2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot \approx 0=\approx 0}$

Apotema ${\displaystyle ={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {\approx 0}{2}}\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle =\approx 10}$

Sagita ${\displaystyle =10-(\approx 10)=\approx 0}$

Y si se trata de un gúgolplex, mucho mejor pues en más grande que un gúgol. Pero, aun así un gúgolplex no deja de ser finito.