Transporte paralelo

Un campo vectorial ${\displaystyle X}$ sobre una curva diferenciable ${\displaystyle \gamma }$ se llama paralelo si

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0}$

para cualquier t. La interpretación de la fórmula anterior es que derivar covariantemente el campo ${\displaystyle X}$ respecto al vector tangente ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ a la curva ${\displaystyle \gamma (t)}$, como el ángulo entre dos vectores es uno de los aspectos que podría variar, en variedades de Riemann donde se puede definir la noción de ángulo la ecuación anterior, implica que el ángulo se mantiene constante y, por tanto, que el vector ${\displaystyle X}$ es transportado paralelamente ya que su inclinación respecto a la curva no varía.

Sean M una variedad diferenciable con conexión ${\displaystyle \nabla }$ y ${\displaystyle \gamma :I\longrightarrow M}$ una curva suave. Sean ${\displaystyle t_{0}\in I}$ y ${\displaystyle \omega _{0}\in T_{\gamma (t_{0})}M}$. Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de ${\displaystyle \gamma }$ tal que ${\displaystyle \omega (t_{0})=\omega _{0}}$. ${\displaystyle \omega }$ se llama transporte paralelo de ${\displaystyle \omega _{0}}$ a lo largo de ${\displaystyle \gamma }$.

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión ${\displaystyle \nabla }$. Una curva diferenciable ${\displaystyle \gamma :I\longrightarrow M}$ es una geodésica si ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ (como campo vectorial a lo largo de ${\displaystyle \gamma }$) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0}$

Un campo vectorial ${\displaystyle X}$ sobre M se denomina paralelo si

${\displaystyle \nabla _{v}X=0\quad \forall v\in TM}$

y geodésico si

${\displaystyle \nabla _{X}X=0}$.

• Conexión afín
• Derivada covariante
• Curvas geodésicas