Teorema de la base de Hilbert

En Matemáticas, el teorema de la base de Hilbert o teorema fundamental de Hilbert toma su nombre de David Hilbert que fue el primero en probarlo en 1888.

Sea $A$ un anillo conmutativo con 1 (puede ser 1=0, entonces $A={0}$ ). Se dice que $A$ es noetheriano si todo ideal de $A$ está finitamente generado. Es fácil probar que son equivalentes:

$A$ es noetheriano.
Todo conjunto no vacío de ideales de $A$ admite un elemento maximal
$A$ cumple la condición de cadena ascendente (ACC o CCA):

Si

$I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots \subseteq I_{n}\subseteq \cdots$

es una cadena de ideales, entonces existe $N$ tal que

$I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots$ .

Teorema fundamental de Hilbert

Teorema. Si $A$ es noetheriano, entonces $A[X]$ es noetheriano.

Corolario. Si $A$ es noetheriano, entonces $A[X_{1},\dots ,X_{n}]$ es noetheriano.

El corolario se obtiene aplicando el teorema de Hilbert con inducción sobre $n$ .

Datos: Q656645

Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.