Teorema de Sard

Más explícitamente (Sternberg (1964, Theorem II.3.1); Sard (1942)),

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

sea ${\displaystyle C^{k}}$, (i.e., ${\displaystyle k}$ veces continuamente diferenciable), donde ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. Sea ${\displaystyle X}$ el conjunto de puntos críticos de ${\displaystyle f,}$ el cual es el conjunto de puntos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ en los cuales la Matriz Jacobiana de ${\displaystyle f}$ tiene rango ${\displaystyle <m}$. Entonces la imagen ${\displaystyle f(X)}$ tiene medida de Lebesgue 0 en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Intuitivamente hablando, esto significa que aunque ${\displaystyle X}$ pueda ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la Medida de Lebesgue: mientras ${\displaystyle f}$ puede tener muchos puntos críticos en el dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, éste debe tener pocos valores críticos en la imagen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

De manera más general, el resultado también es válido para las asignaciones entre los segundos colectores contables M diferenciables ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle N}$ de dimensiones ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$, respectivamente. El conjunto crítico ${\displaystyle X}$ de una función ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

consiste en aquellos puntos en los que el diferencial

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

Tiene rango menor que ${\displaystyle m}$ como una transformación lineal. Si ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$, entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de ${\displaystyle X}$ tiene medida cero como un subconjunto de ${\displaystyle M}$. Esta formulación del resultado se deduce de la versión para espacios euclídeos mediante la adopción de un conjunto numerable de coordinar los parches . La conclusión del teorema es una declaración local, ya que una unión numerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de un subconjunto de un parche de coordenadas que tiene medida cero es invariante bajo difeomorfismo.

• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on differential geometry, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, pp. xv+390, MR 0193578, Zbl 0129.13102..
• Morse, Anthony P. (enero de 1939), «The behaviour of a function on its critical set», Annals of Mathematics 40 (1): 62-70, JSTOR 1968544, MR 1503449, doi:10.2307/1968544..
• Sard, Arthur (1942), «The measure of the critical values of differentiable maps», Bulletin of the American Mathematical Society 48 (12): 883-890, MR 0007523, Zbl 0063.06720, doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6..
• Sard, Arthur (1965), «Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds», American Journal of Mathematics 87 (1): 158-174, JSTOR 2373229, MR 0173748, Zbl 0137.42501, doi:10.2307/2373229. and also Sard, Arthur (1965), «Errata to Hausdorff measures of critical images on Banach manifolds», American Journal of Mathematics 87 (3): 158-174, JSTOR 2373074, MR 0180649, Zbl 0137.42501, doi:10.2307/2373229..
• Smale, Stephen (1965), «An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem», American Journal of Mathematics 87 (4): 861-866, JSTOR 2373250, MR 0185604, Zbl 0143.35301, doi:10.2307/2373250..