Teorema de Lucas

Sean m y n números enteros no negativos, p un número primo y sean

${\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},}$

y

${\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$

los desarrollos de m y n, respectivamente, en base p.

Entonces

${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},}$

donde ${\displaystyle {\binom {m}{n}}={\frac {m!}{n!(m-n)!}}}$ denota el coeficiente binomial de m sobre n.

En particular, el coeficiente binomial ${\displaystyle {\binom {m}{n}}}$ es divisible por un número primo p tan pronto como al menos uno de los dígitos de n en base p es mayor que el dígito correspondiente de m

Édouard Lucas, 1878.[1]