Teorema de Gerschgorin

El teorema de Gerschgorin es utilizado en álgebra lineal para encontrar una cota de los autovalores de una matriz compleja (esto incluye también a las reales) de orden ${\displaystyle n\times n}$. Fue publicado por el matemático soviético S.Gerschgorin en 1931.[1]

Dada una matriz ${\displaystyle A=(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb {C} )}$ se definen los círculos ${\displaystyle D_{i}={z\in C/|z-a_{ii}|\leq r_{i}},i=1...n}$ , con centro en ${\displaystyle a_{ii}}$ y radio ${\displaystyle r_{i}=\sum _{j\neq i}|a_{ij}|}$,${\displaystyle j=1...n}$.

Teorema. Los valores propios de la matriz ${\displaystyle A}$ se encuentran en los discos de Gerschgorin. Cada componente conexa formada por ${\displaystyle s}$ discos tendrá ${\displaystyle s}$ valores propios reales o complejos.

Demostración. Sea ${\displaystyle \lambda }$ un valor propio de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle x}$ un vector propio asociado a ${\displaystyle \lambda }$. Supongamos que la componente de mayor valor absoluto de ${\displaystyle x}$ es la ${\displaystyle \jmath }$, es decir, ${\displaystyle |x_{j}|=Max{|x_{k}|}}$, ${\displaystyle k=1...n}$. Entonces al multiplicar la fija j de la matriz ${\displaystyle A}$ por el vector propio ${\displaystyle x}$, se tiene:

${\displaystyle a_{j1}x_{1}+...+a_{jn}x_{n}=\lambda x_{j}\Longrightarrow |(a_{jj}-\lambda )x_{j}|=|\sum _{k=1,k\neq j}^{n}a_{jk}x_{k}|\Longrightarrow |a_{jj}-\lambda ||x_{j}|\leq \sum _{k=1,k\neq j}^{n}|a_{jk}||x_{k}|\leq \sum _{k=1,k\neq j}^{n}|a_{jk}||x_{j}|=|x_{j}|\sum _{k=1,k\neq j}^{n}|a_{jk}|\Longrightarrow |a_{jj}-\lambda |\leq \sum _{k=1,k\neq j}^{n}|a_{jk}|=r_{j}}$por tanto ${\displaystyle \lambda }$ se encuentra en el disco de Gerschgorin ${\displaystyle D_{j}}$.