Superficie (matemática)

A menudo, una superficie está definida por ecuaciones que se satisfacen con las coordenadas de sus puntos. Es el caso de la gráfica de una función continua de dos variables. El conjunto de los ceros de una función de tres variables es una superficie, que se denomina superficie implícita.[1] Si la función definitoria de tres variables es un polinomio, la superficie es una superficie algebraica. Por ejemplo, la esfera unidad es una superficie algebraica, ya que puede ser definida por la ecuación implícita

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.}$

Una superficie también puede definirse como la imagen, en algún espacio de dimensión al menos 3, de una función continua de dos variables (se requieren algunas condiciones adicionales para asegurar que la imagen no es una curva). En este caso, se dice que se tiene una superficie paramétrica, que está parametrizada por estas dos variables, llamadas parámetros. Por ejemplo, la esfera unitaria puede estar parametrizada por los ángulos de Euler, también llamados longitud ${\displaystyle u}$ y latitud ${\displaystyle v}$ por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}}$

Las ecuaciones paramétricas de las superficies suelen ser irregulares en algunos puntos. Por ejemplo, todos los puntos de la esfera unitaria, excepto dos, son la imagen, por la parametrización anterior, de exactamente un par de ángulos de Euler (módulo ${\displaystyle 2\pi }$). Para los dos puntos restantes (el norte y el polo sur), se tiene ${\displaystyle 1=\cos v=0}$, y la longitud ${\displaystyle u}$ puede tomar cualquier valor. Además, hay superficies para las que no puede existir una única parametrización que cubra toda la superficie. Por lo tanto, a menudo se consideran superficies parametrizadas por varias ecuaciones paramétricas, cuyas imágenes cubren la superficie. Esto se formaliza con el concepto de colector: en el contexto de los colectores, típicamente en topología y geometría diferencial, una superficie es un colector de dimensión dos; esto significa que una superficie es un espacio topológico tal que cada punto tiene una entorno que es homeomórfica a un subconjunto abierto del plano euclídeo, ver superficie (topología) y superficie (geometría diferencial). Esto permite definir superficies en espacios de dimensión superior a tres, e incluso superficies abstractas, que no están contenidas en ningún otro espacio. Por otro lado, esto excluye las superficies que tienen singularidades, como el vértice de una superficie cónica o los puntos donde una superficie se cruza a sí misma.

En geometría clásica, una superficie se define generalmente como un lugar geométrico de un punto o una línea. Por ejemplo, una esfera es el lugar de un punto que está a una distancia determinada de un punto fijo, llamado centro; una superficie cónica es el lugar de una recta que pasa por un punto fijo y cruza una curva; una superficie de revolución es el lugar de una curva que gira alrededor de una recta. Una superficie reglada es el lugar de una línea en movimiento que satisface algunas restricciones; en la terminología moderna, una superficie reglada es una [[unión (teoría de conjuntos)|de líneas.