Función homogénea

En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).

Definición formal

Supongamos una función cuya definición es $f:V\rightarrow W$ entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $F$ . Entonces se dice que $f\,$ es homogénea de grado k si:

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ),\qquad \forall \alpha \in F\setminus \{0\},\quad \forall \mathbf {v} \in V$

Ejemplos

Las funciones lineales

Cualquier función lineal $f:V\rightarrow W\,$ es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$

para todo $\alpha \in F$ y $\mathbf {v} \in V$ . Del mismo modo, cualquier función multilineal $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W$ es homogénea de grado n, por definición.

$f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

para todo $\alpha \in F$ y $\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$ . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función $f:X\rightarrow Y$ entre dos espacios de Banach $X\,$ y $Y\,$ es homogénea de grado $n\,$ .

Polinomios homogéneos

Los monomios de $n$ variables reales definen funciones homogéneas $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ . Por ejemplo,

$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$

es homogénea de grado 10 puesto que:

$f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)\,$

Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,

$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,$

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas establece:

Supongamos que una función $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$ .

Teorema: Sea $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_{i}$ son funciones homogéneas de grado k-1. es decir

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

Éste resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

Demostración
Sea $x\in \mathbf {R} ^{n}$ y la función $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ homogénea. Por homogeneidad de la función $f$ se sabe que $f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$ Se define $\mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}$ como $y=\alpha x$ . Reemplazando la $\mathbf {y}$ en la expresión anterior nos queda: $f(\mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$ Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a $x_{i}\,$ ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$ por regla de la cadena la expresión se vuelve: ${\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$ Sustituyendo nuevamente $y=\alpha x$ : ${\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} ){\frac {\partial (\alpha x_{i})}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$ ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} )\alpha =\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$ y finalmente da el resultado que se quiere obtener: ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

Aplicación a las EDOs

La substitución $v=y/x$ convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$

Donde $I\,$ y $J\,$ son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v$

Referencia

Bibliografía

Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.

Enlaces externos

Función homogénea en Planet Math

Datos: Q1132952

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