Función G de Barnes

En matemática, la función G de Barnes G(z) es una function que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos. Está relacionada con la función gamma, la función K y la constante de Glaisher–Kinkelin constant, y fue llamada en honor al matemático Ernest William Barnes.[1] Puede ser escrita en términos de la función gamma doble.

La función G de Barnes representada a lo largo de la recta real.

Formalmente, la función G-Barnes se define mediante el siguiente producto de Weierstrass:

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

donde ${\displaystyle \,\gamma }$ es la constante de Euler–Mascheroni, exp(x) = e^x es la función exponential, y Π denota multiplicación (productorio).

Como función entera, G es de orden dos, y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica dada a continuación.