Forma diferencial compleja

En matemáticas, una forma diferencial compleja es una forma diferencial en una variedad (normalmente una variedad compleja) a la que se le permite tener coeficientes complejos.

Las formas complejas tienen muchas aplicaciones en geometría diferencial. En las variedades complejas, son fundamentales y sirven de base para gran parte de la geometría algebraica, la geometría de Kähler y la teoría de Hodge. En las variedades no complejas, también desempeñan un papel en el estudio de la estructura casi compleja, la teoría de los espinores y la estructura CR.

Típicamente, las formas complejas se consideran debido a alguna descomposición deseable que las formas admiten. En una variedad compleja, por ejemplo, cualquier forma compleja k puede descomponerse unívocamente en una suma de las llamadas (p, q)-formas: aproximadamente, cuñas de p diferenciales de las coordenadas holomorfas con q diferenciales de sus conjugados complejos. El conjunto de formas (p,q) se convierte en el objeto primitivo de estudio, y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las formas k. Existen estructuras aún más finas, por ejemplo, en los casos en que se aplica la teoría de Hodge.