Elasticidad de sustitución intertemporal

La definición depende de si uno está trabajando en tiempo discreto o continuo. Veremos que para la función de utilidad CRRA, los dos enfoques dan la misma respuesta. Los siguientes formularios funcionales suponen que utilidad del consumo es aditivamente separable en el tiempo.

Sea la utilidad obtenida del consumo c en el período t, lo siguiente:

${\displaystyle u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}.}$

Dado que esta función de utilidad pertenece a la familia de funciones de utilidad isoelásticas[2] tenemos: ${\displaystyle u'(c_{t})=c_{t}^{-\sigma }.}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle \ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]=-\sigma \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right].}$

Esta ecuación puede ser reescrita como

${\displaystyle \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right]=-{\frac {1}{\sigma }}\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}$

Por lo tanto, con la aplicación de la fórmula anterior tenemos que:

${\displaystyle -{\frac {\partial \ln(c_{t+1}/c_{t})}{\partial \ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}=-\left[-{\frac {1}{\sigma }}\right]={\frac {1}{\sigma }}.}$

Sea que la utilidad total de por vida dado por

${\displaystyle U=\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})dt}$

donde ${\displaystyle c_{t}}$ es la abreviatura ${\displaystyle c(t)}$, ${\displaystyle u(c(t))}$ es la utilidad del consumo en (instantánea) el tiempo t, y ${\displaystyle \rho }$ es el tipo de tiempo. En primer lugar definir la medida de la aversión al riesgo relativo (esto es útil incluso si el modelo no tiene ninguna incertidumbre o riesgo) como,

${\displaystyle RRA=-{\frac {d(u'(c_{t}))}{d(c_{t})}}{\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}=-u''(c_{t}){\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}}$

entonces la elasticidad de sustitución intertemporal se define como

${\displaystyle EIS=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial ({\dot {u}}'(c_{t})/u'(c_{t}))}}=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (u''(c_{t}){\dot {c}}_{t}/u'(c_{t}))}}={\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (RRA\cdot ({\dot {c}}_{t}/c_{t}))}}={\frac {1}{RRA}}=-{\frac {u'(c_{t})}{u''(c_{t})\cdot c_{t}}}}$

Si la función de utilidad u (c) es de la CRRA tipo:

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$ (with special case of ${\displaystyle \theta =1}$ being ${\displaystyle u(c)=ln(c)}$)

a continuación, la elasticidad de sustitución intertemporal está dada por ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$. En general, un bajo valor de theta (alta elasticidad intertemporal) significa que el crecimiento del consumo es muy sensible a los cambios en la tasa de interés real. Para theta igual a 1, la tasa de crecimiento del consumo responde uno a uno a los cambios en la tasa de interés real. Un alto theta implica un crecimiento del consumo insensible.

En el modelo de crecimiento de Ramsey, la elasticidad de sustitución intertemporal determina la velocidad de ajuste para alcanzar el estado estacionario y el comportamiento de la tasa de ahorro durante la transición. Si la elasticidad es alta, entonces grandes cambios en el consumo no son muy costosos para los consumidores y, en consecuencia, si la tasa de interés real es alta van a ahorrar una gran parte de sus ingresos. Si la elasticidad es baja la suavización del consumo es muy fuerte y debido a esto los consumidores ahorrarán poco y consumirán mucho si la tasa de interés real es alta.[3]