Distribución uniforme continua

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria continua con distribución uniforme continua entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$ o ${\displaystyle X\sim \operatorname {Unif} (a,b)}$.

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$ entonces la función de densidad es:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}}$

para ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$ entonces la función de distribución es:

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&x<a\\\displaystyle {\frac {x-a}{b-a}}&a\leq x<b\\1&x\geq b\end{cases}}}$

la cual es fácil de obtener a partir de la función de densidad pues

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {1}{b-a}}\;du={\frac {1}{b-a}}\;u{\bigg |}_{a}^{x}={\frac {x-a}{b-a}}\end{aligned}}}$

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {a+b}{2}}}$

Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza matemática

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\;dx\\&={\frac {1}{b-a}}{\frac {x^{2}}{2}}{\bigg |}_{a}^{b}\\&={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}\\&={\frac {(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}\\&={\frac {a+b}{2}}\end{aligned}}}$

Si uno grafica la función de densidad de esta distribución notará que la media corresponde al punto medio del intervalo ${\displaystyle [a,b]}$.

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ está dado por

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}}$

para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

La función generadora de momentos de esta distribución es

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$

para valores ${\displaystyle t\neq 0}$.

Esta distribución puede ser generalizada a conjuntos de intervalos más complicados. Si ${\displaystyle S}$ es un conjunto de Borel de medida finita positiva, la distribución probabilidad uniforme en ${\displaystyle S}$ se puede especificar definiendo que la pdf sea nula fuera de ${\displaystyle S}$ e igual a 1/K dentro de ${\displaystyle S}$, donde K es la medida de Lebesgue de ${\displaystyle S}$.

Sea ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ una muestra independiente e identicamente distribuidas de ${\displaystyle U(0,1)}$. Sea ${\displaystyle X_{(k)}}$ el ${\displaystyle k}$-ésimo estadístico de orden de esta muestra. Entonces la distribución de probabilidad de ${\displaystyle X_{(k)}}$ es una distribución Beta con parámetros ${\displaystyle k}$ y ${\displaystyle n-k+1}$. La esperanza matemática es

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{(k)}]={k \over n+1}.}$

Esto es útil cuando se realizan Q-Q plots.

Las varianzas son

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

La probabilidad de que una variable aleatoria uniformemente distribuida se encuentre dentro de algún intervalo de longitud finita es independiente de la ubicación del intervalo (aunque sí depende del tamaño del intervalo), siempre que el intervalo esté contenido en el dominio de la distribución.

Es posible verificar esto, por ejemplo si ${\displaystyle X\approx U(a,b)}$ y ${\displaystyle [x,x+d]}$ es un subintervalo de ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle d}$ fijo y ${\displaystyle d>0}$, entonces

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!}$

lo cual es independiente de ${\displaystyle x}$. Este hecho es el que le da su nombre a la distribución.

La función de densidad para cualquier valor ${\displaystyle x\in [0,1]}$ es simplemente la constante ${\displaystyle 1}$, esto es

${\displaystyle f_{X}(x)=1}$

La función de probabilidad de ${\displaystyle X}$ se reduce a la recta identidad, esto es

${\displaystyle F_{X}(x)=x}$

para valores de ${\displaystyle x\in [0,1]}$

La media y varianza están dadas por

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{12}}}$

respectivamente.

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}$ entonces ${\displaystyle 1-X\sim \operatorname {U} (0,1)}$.

Existen muchos usos en que es útil realizar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que están distribuidos de acuerdo a una distribución uniforme estándar.

Si u es un valor muestreado de una distribución uniforme estándar, entonces el valor a + (b − a)u posee una distribución uniforme parametrizada por a y b, como se describió previamente.

La distribución uniforme resulta útil para muestrear distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo de transformación inversa, que utiliza la distribución de probabilidad (CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en trabajos teóricos. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han diseñado métodos alternativos para aquellos casos donde no se conoce el CDF en una forma cerrada. Otro método similar es el rejection sampling.

La distribución normal es un ejemplo importante en el que el método de la transformada inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un método exacto, la transformación de Box-Muller, que utiliza la transformada inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente.