Distribución de Rayleigh

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\begin{cases}\sigma ^{n}2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!&n{\text{ es par}}\\\sigma ^{n}{\sqrt {\pi }}\;{\frac {n!}{2^{n/2}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}&n{\text{ es impar}}\end{cases}}}$

La función generadora de momentos de la distribución de Rayleigh con parámetro ${\displaystyle \sigma }$ está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sigma te^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

donde ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$ es la función error.

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$ entonces

• La esperanza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,}$

• La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\left({\frac {4-\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}}$

Dada una muestra de ${\displaystyle n}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución de Rayleigh con parámetro ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$

es el estimador por máxima verosimilitud del parámetro ${\displaystyle \sigma }$.

• Una variable aleatoria ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})}$ si ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ donde ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son variables aleatorias independientes tales que ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$ y ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$.
• Si una variable aleatoria ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$ entonces ${\displaystyle R^{2}}$ sigue una distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad, es decir, ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}$.
• Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exponencial} (\lambda )}$ entonces ${\displaystyle Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$.
• La distribución chi es una generalización de la distribución de Rayleigh.
• La distribución de Rice es una generalización de la distribución de Rayleigh.
• La distribución de Weibull es una generalización de la distribución de Rayleigh.

• Multitrayecto

• Calculadora Distribución de Rayleigh