Distribución de Rademacher

La función de masa de probabilidad de esta distribución es

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$

Puede también ser escrito como una función de densidad de probabilidad, en términos de la función delta de Dirac, como:

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$

Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.[2]

Sea X i sea un conjunto de Rademacher independiente distribuido variables aleatorias. Entonces

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}{\Bigl |}{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}{\Bigr |}\leq 1)\geq 0.5.}$

La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).

Sea { X_i } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea {a i} una sucesión de números reales. Entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>t||a||_{2})\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

donde ||a||₂ es la norma euclidiana de la secuencia { a_i }, t > 0 es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.[3]

También si ||a||₁ es finito entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>||a||_{1})=0}$

donde || a ||₁ es el 1-norma de la secuencia { a_i }.

Sea Y = Σ X_ia_i y sea Y casi seguramente convergente serie en un espacio de Banach . El para t> 0 y s ≥ 1 tenemos:[4]

${\displaystyle Pr(||Y||>st)\leq [{\frac {1}{c}}Pr(||Y||>t)]^{cs^{2}}}$

para alguna constante c.

Sea p un número real positivo. Entonces[5]

${\displaystyle c_{1}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}\leq (E[|\sum {a_{i}X_{i}}|^{p}])^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}}$

donde c₁ y c₂ son constantes que dependen sólo de la p.

Para p ≥ 1

${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}}$

La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.

La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.

Distribución de Bernoulli: Si X tiene una distribución Rademacher luego ${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$ tiene una Bernoulli (media) de distribución.