Deducción de la fórmula de Bhaskara

Se puede simplificar aplicando el cambio de variable ${\displaystyle 2m=b/a}$ y ${\displaystyle n=c/a}$. Así la ecuación queda:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

• Se aplica el cambio de variable

${\displaystyle x^{2}+2mx+n=0\,}$

• Sumando ${\displaystyle m^{2}}$ para ajustar cuadrados, y restando n en ambos miembros

${\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,}$

• Y seguidamente contrayendo de la siguiente manera

${\displaystyle (x+m)^{2}=m^{2}-n\,}$

• Se aplica la raíz cuadrada a ambos lados

${\displaystyle x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• Restando ${\displaystyle m}$ a ambos lados

${\displaystyle x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• Deshaciendo la sustitución, ${\displaystyle m=b/2a}$ y ${\displaystyle n=c/a}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,}$

• Y operando se obtiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

• Partiendo de la ecuación

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ con ${\displaystyle a\neq 0}$

• Se multiplica por ${\displaystyle 4a}$

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}$

• Seguidamente se suma ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,}$

• Reordenando se observa que es el cuadrado de la suma

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• Y contrayendo la identidad notable

${\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• Aplicación de la raíz cuadrada a ambos lados

${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• Restando ${\displaystyle b}$ a ambos lados de la igualdad

${\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• Como ${\displaystyle a\neq 0}$ se divide entre ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

• Ecuación de segundo grado

• Demostración: Fórmula Resolvente