Convergencia absoluta

En otras palabras, la serie es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es una serie convergente.

La convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera.

Supongamos que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ converge por hipótesis y que ${\displaystyle a_{n}\leq |a_{n}|}$, entonces por el Criterio de comparación, si ${\displaystyle |a_{n}|}$ converge, ${\displaystyle a_{n}}$ también lo hará.

Por propiedad del Valor Absoluto, es posible considerar:

${\displaystyle -|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|}$

Sumamos ${\displaystyle |a_{n}|}$ término a término en la desigualdad:

${\displaystyle |a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|}$

${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ o sea:

Se aplica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}$ miembro a miembro:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }2|a_{n}|}$

Pero por hipótesis, ${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ converge, entonces por el Criterio de comparación, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|}$ también lo hará. (1)

Ahora, se considera:

${\displaystyle a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]-\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]}$ converge por (1).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ converge por hipótesis.

Entonces ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ converge por ser diferencia de series convergentes.

Si la serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ es convergente pero no absolutamente convergente, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Esto sucede cuando ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ es divergente.

• Serie convergente
• Serie matemática
• Convergencia (matemáticas)
• Integral impropia